Korte notitie over de arabische wortels van onze rekenkunde
Laten we beginnen met de ‘arabische cijfers’ (ter onderscheiding van de ‘romeinse cijfers’, u weet wel: MMXXIII (2023). En dat is meteen al een verrassing:
onder = de echte arabische cijfers (die de arabieren de ‘Indische’ noemen. Terecht.)
Arabische cijfers ? Indisch !
De decimale notatievorm van numerieke eenheden, inclusief een plaatshouder voor afwezigheid: de ‘0’. Dat is de truc van ons getalsysteem. Arabische geleerden hebben dat overgenomen van de Sasaniërs (Perzië/Iran), die het op hun beurt hadden aangetroffen in de Hindoe-cultuur (India). Daar was de wiskunde trouwens het verst ontwikkeld in de oudheid. Via de arabische wereld werd dit getalsysteem dan doorgegeven aan het Westen, waar het voor het eerst wordt vermeld in het jaar 976 (A.D. XMLXXVI). Te onzent schreef men numerieke eenheden op in Latijnse cijfers. Lastig voor ons, heel normaal voor de mensen toen. De belangrijkste verbetering met het oog op het uitvoeren van elementaire berekeningen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen was de invoering van een symbool dat de afwezigheid van een eenheid aanduidt: de nul (eerst vaak een ‘hoge stip’, later de ons bekende ‘0’. NB: soms liet men de plek ook gewoon ‘leeg’, maar dat leidde natuurlijk licht tot misverstanden)
VOORBEELD:
321 = CCC XX I = 3 x 100, 2 x 10, 1 x 1
320 = CCC XX = 3 x 100, 2 x 10, 0 x 1
Met dit systeem kan elk getal worden genoteerd met een combinatie van tien ‘symbolen’ (cijfers). De Hindoes gebruikten een punt of cirkel om aan te geven dat een ‘kolom’ leeg was (sunya); de Arabieren vertaalden sunya als sifr. Van sifr komt het woord cijfer, maar ook zero (lees ik op wiki). Hier een schematisch overzicht van de ontwikkeling (gevonden op de Duitse wiki): NB: de wonderlijke schrijfwijze uit de 11e eeuw (Apices genoemd) zijn de arabische cijfers in West-Europese transcriptie (nog echt arabisch dus). Pas vanaf de 15 eeuw worden de arabesken gestileerd tot de cijfers die wij nu kennen/gebruiken (m.n. een opvallend verschil bij de cijfers 2 t/m 7).
Al-Khwarizmi
De term algebra is afgeleid van de titel van een boek van Mohammed ibn Moesa al-Khwarizmi (ca. 780-850) over een welbepaald onderdeel van de wiskunde (rekenkunst) waarin men op zoek gaat naar structuren in veel voorkomende lastige berekeningen (formules). Het boek was een beknopte en systematische samenvatting van de toenmalige stand van rekenzaken, en deed de ronde met twee titels. Een lange en een short title :
- al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa-ʾl-muqābala = het boek over de rekenkunde middels herstellen en gelijkmaken (of zoiets, vertalen van die twee termen is lastig)
- Kitāb al-ǧabr wa-ʾl-muqābala = boek over herstellen en gelijkmaken
Dit is het eerste systematische werk over algebra, die tak van de wiskunde waarin met vergelijkingen (equations) wordt gewerkt waarin ‘onbekenden’ voorkomen (‘x’) en naar structuren wordt gezocht, die altijd weerkeren (formules, noemen wij dat, zoals a2+b2=c2).1
Algebra
Het woord Al-gabr uit de titel van Khwarizmi’s boek werd algebra in de Europese talen, vooral omdat de Latijnse vertalingen de titel eigenlijk níet vertaalden: Zo zijn er vertalingen in omloop die het geschrift Ludus algebrae almucgrabalaeque (=”de kunst/kunde van algebra en mucgrabala”) noemen. Even terzijde: ik heb een vertaling met deze titel nergens gevonden, maar lees dit wel in elk résumé. Dus het zal wel. De meest gangbare Latijnse titel is echter Liber algebrae et almucabola, een vertaling gemaakt door Robert van Chester, een 12de eeuwse Engelsman die Arabisch heeft geleerd in Spanje. Hij maakte de vertaling in Segovia ca. 11452. Terzijde: De abt van Cluny (Petrus Venerabilis) had hem ook al gevraagd om ‘Al-Quran’ (de koran) te vertalen. Wat hij met hulp van een andere arabisten en een moslim ook heeft gedaan (1142/3). Daar lag echter zijn interesse niet. Die lag bij de wetenschappen (wiskunde, alchemie, en sterrekunde). De koranvertaling is trouwens in druk verschenen in Basel in 1543 op initiatief van de Theodor Buchmann (Bibliander), met een voorwoord van Martin Luther, “Machumetis Saracenorum principis…. Alcoran“3.
[lees verder onder de afbeeldingen]
Trouwens: van al-Khwarizmi’s achternaam (eigenlijk gewoon zijn afkomst: Mohammed de zoon van Mozes van Corason, nu in Oezbekistan, hart van de zijderoute) is ook nog de term algoritme afgeleid.
Al-gabr en Al-muqabala
- Al-gabr duidt op het proces van het evenwicht herstellen in een vergelijking door aan de ene kant van een vergelijking een negatieve term te verwijderen, door die aan de andere kant toe te voegen(vb. x2-13=3. Als je 13 verwijderd uit het eerste lid, dan wordt het evenwicht hersteld door het toe te voegen aan het tweede lid. Dus: x2=3+13 (x = √16 = 4).
- Al-muqabala verwijst naar de ontbinding in factoren (reduceren van termen) in beide zijden van een vergelijking (balanceren, in evenwicht brengen, noemt Khwarizmi dat). NB: Op zich niet zo heel speciaal. Ook Diophantus in zijn Arithmetica (ca 250) had dit soort formules al aangeduid. Het is vooral de systematisering van de kennis die op Khwarizmi ‘s conto moet worden geschreven.
Trouwens u moet zich wel realiseren, dat men deze vergelijkingen (equations) niet in wiskundige tekens opschreef (het “=” teken wordt bijv. pas in 1557 geïntroduceerd en “x” als teken voor het ‘onbekende’ bestond ook helemaal nog niet. Euler heeft op dit punt veel werk verzet), maar in de vorm van een ‘verhaal’.4 Ook werd de oplossing na de prozatekst nog eens aanschouwelijk ‘bewezen’ vertrekkend vanuit een rechthoek met de afmeting x bij x (vierkant).
In de 12e eeuw introduceerden Latijnse vertalingen van Khwarizmi’s leerboek over het rekenen (Algorithmo de Numero Indorum) ook het decimale positiegetallensysteem in de westerse wereld (zie hierboven: arabische cijfers). De vertaling van Robert van Chester (12de eeuw) werd tot in de 16e eeuw gebruikt als het wiskundig leerboek op de Europese universiteiten. Of anders gezegd:
– Naast Euclides, vooral bekend te onzent van de regel-van-drie (B) (kruislings vermenigvuldigen voor de Nederlanders) en
– Pythagoras (vooral bekend van zijn rechthoekige driekhoeksstelling) moet ook
– Al-Khwarazmi genoemd worden omdat hij essentiële algebra (afkomstig uit Griekenland en India) aan ons heeft doorgegeven.
Waarvoor dank ! [maar wat dit nu met de islam te maken heeft, weet ik ook niet]
NOTEN:
- Simon Stevin (1548–1620) heeft Nederlandse namen voor de diverse takken van wetenschap voorgesteld. Hij had ‘stelkunde’ (in plaats van algebra) in gedachten voor dit soort berekeningen. Niet gelukt. Met ‘wiskunde’ (= de kunst/kunde van wat ‘gewis’ is, ‘zeker) is hij wel in zijn opzet geslaagd (in de meeste ander talen gewoon een variant op ‘mathematica’). Ook geslaagd voor ‘natuurkunde’ (fysica), enfin, enkel in Nederland, niet in vlaanderen
- Avraham Bar Hiyya ha-Nasi’s, bracht in hetzelfde jaar ook een soortgelijk boek uit (geen vertaling) over algebar: Hibbur hameshihah we-ha-tishboret (Hebreeuws). Dus 1145 is echt het geboortejaar van de Europese algebraica
-
titelpagina met volledige beschrijving van de inhoud en herkomst
Gedrukt te Basel in 1543 door Johannes Oporinus. - vb.: Wat is het vierkantsgetal (kwadraat), dat – als je het vermeerdert met 10 maal z’n wortel – 39 oplevert? Antwoord: halveer het aantal ‘wortels’ (coëfficient van x), dat levert 5 op. Dit vermenigvuldig je met zichzelf (= 25) en dan voeg je daar 39 bij. Het totaal is dan 64. Neem hiervan nu de wortel (=8) en trek daar dan de helft van het wortelgetal af (=5) Wat overblijft is 3. Dit is de wortel van het vierkantsgetal dat je zocht. In moderne notatie: x2 + 10x = 39. De oplossing:
